Analyse — Limites, continuité et dérivation

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Introduction

Cette fiche de révision porte sur les notions fondamentales d’analyse en Licence : limites, continuité et dérivation. Ces concepts sont au cœur de l’étude des fonctions réelles d’une variable réelle, et constituent la base de nombreux raisonnements mathématiques, tant théoriques que pratiques. Maîtriser ces notions est indispensable pour aborder l’optimisation, la résolution d’équations, l’étude des variations et les approximations locales de fonctions. La fiche s’organise autour de la définition rigoureuse des limites et de la continuité, des principaux théorèmes (valeurs intermédiaires, bornes atteintes, Rolle, accroissements finis), de la dérivabilité et de l’utilisation des développements limités. Elle met l’accent sur les hypothèses à vérifier, les méthodes de preuve et les erreurs fréquentes à éviter.

Plan

1. Voisinages et limites
2. Continuité et prolongement par continuité
3. Théorème des valeurs intermédiaires
4. Bornes atteintes sur un segment
5. Dérivabilité et tangentes
6. Théorème de Rolle et des accroissements finis
7. Développements limités usuels

1. Voisinages et limites

La notion de voisinage est fondamentale pour formuler rigoureusement la définition des limites en analyse. Un voisinage d’un point a dans ℝ est un ensemble qui contient un intervalle ouvert centré en a, c’est-à-dire tous les réels x tels que |x−a|<r pour un certain r>0. Cette notion permet de décrire la proximité d’un point, en incluant ou non le point lui-même, ce qui est essentiel pour traiter les limites en un point, à droite, à gauche, ou à l’infini.

La limite d’une fonction en un point formalise l’idée intuitive que les valeurs de la fonction se rapprochent d’une valeur donnée lorsque la variable s’approche d’un certain point. On distingue la limite finie en un point, la limite infinie, ainsi que les limites à droite et à gauche. La définition rigoureuse utilise la notion de voisinage : f admet une limite ℓ en a si, pour tout voisinage V de ℓ, il existe un voisinage U de a tel que pour tout x∈U∖{a}, f(x)∈V.

La compréhension des limites est essentielle pour aborder la continuité, la dérivabilité et les développements limités. Il est important de maîtriser les différentes formulations (ε-δ, voisinages) et de savoir les utiliser pour démontrer ou calculer des limites. Les erreurs fréquentes concernent la confusion entre la valeur de la fonction en a et sa limite en a, ou l’oubli de l’exclusion du point a dans la définition.

Points clés

• Un voisinage de a∈ℝ est tout ensemble contenant un intervalle ouvert centré en a.
• La définition de la limite utilise la notion de voisinage pour exprimer la proximité des images f(x) d’une valeur ℓ lorsque x s’approche de a.
• On distingue les limites à droite (x→a⁺) et à gauche (x→a⁻), qui utilisent des voisinages contenus respectivement dans ]a,a+r[ ou ]a−r,a[.
• La limite à l’infini (x→+∞ ou x→−∞) s’exprime aussi à l’aide de voisinages de l’infini, c’est-à-dire des intervalles de la forme ]A,+∞[ ou ]−∞,A[.
• La limite en a n’exige pas que la fonction soit définie en a, seulement dans un voisinage de a privé de a.
• La définition ε-δ est une reformulation de la définition par voisinages, adaptée à ℝ.
• Si la limite de f en a existe et vaut ℓ, alors pour tout ε>0, il existe δ>0 tel que pour tout x∈I, 0<|x−a|<δ ⇒ |f(x)−ℓ|<ε.
• La connaissance des voisinages permet de traiter les limites, les continuités, et d’éviter les erreurs de raisonnement sur la proximité.

Définitions

• Voisinage d’un point a : Un voisinage de a∈ℝ est tout ensemble V⊆ℝ contenant un intervalle ouvert centré en a, c’est-à-dire qu’il existe r>0 tel que ]a−r,a+r[⊆V.
• Limite en un point : Soit f définie sur un ensemble I⊆ℝ, a est un point adhérent à I. On dit que f admet pour limite ℓ en a, et on écrit lim_{x→a} f(x)=ℓ, si pour tout voisinage V de ℓ, il existe un voisinage U de a tel que pour tout x∈U∩I, x≠a, f(x)∈V.
• Limite à droite (resp. à gauche) : On dit que f admet pour limite ℓ en a à droite (resp. à gauche), notée lim_{x→a⁺} f(x)=ℓ (resp. lim_{x→a⁻} f(x)=ℓ), si pour tout voisinage V de ℓ, il existe η>0 tel que pour tout x∈I, a<x<a+η (resp. a−η<x<a), f(x)∈V.
• Limite à l’infini : On dit que f admet pour limite ℓ en +∞ (resp. −∞), notée lim_{x→+∞} f(x)=ℓ (resp. lim_{x→−∞} f(x)=ℓ), si pour tout voisinage V de ℓ, il existe A∈ℝ tel que pour tout x>A (resp. x<A), f(x)∈V.

Formules

• lim_{x→a} f(x)=ℓ ⇔ ∀ε>0, ∃δ>0, ∀x∈I, 0<|x−a|<δ ⇒ |f(x)−ℓ|<ε — C’est la définition ε-δ de la limite en un point a, équivalente à la définition par voisinages pour les fonctions réelles.

Méthode

1. Identifier le point a où l’on cherche la limite, et l’ensemble de définition de f.
2. Déterminer la valeur supposée de la limite ℓ.
3. Pour une démonstration, fixer un ε>0 arbitraire et chercher un δ>0 adapté.
4. Montrer que pour tout x vérifiant 0<|x−a|<δ, on a |f(x)−ℓ|<ε.
5. Conclure que la limite existe et vaut ℓ.
6. Pour une limite à droite ou à gauche, adapter l’intervalle de x à ]a,a+δ[ ou ]a−δ,a[.

Exemple traité

Montrer que lim_{x→2} (3x+1) = 7.

On pose f(x)=3x+1. Soit ε>0. On cherche δ>0 tel que pour tout x∈ℝ, 0<|x−2|<δ ⇒ |f(x)−7|<ε. Calculons : |f(x)−7| = |3x+1−7| = |3x−6| = 3|x−2|. Il suffit donc d’avoir 3|x−2|<ε, soit |x−2|<ε/3. On prend donc δ=ε/3. Ainsi, pour tout ε>0, si 0<|x−2|<δ, alors |f(x)−7|<ε. Donc lim_{x→2} (3x+1)=7.

Pièges à éviter

• Confondre la valeur de la fonction en a avec la limite en a : la fonction peut ne pas être définie en a, ou f(a)≠lim_{x→a} f(x).
• Oublier d’exclure le point a dans la définition (il faut 0<|x−a|<δ et non |x−a|<δ).
• Croire que la limite existe toujours : il faut vérifier que la condition est satisfaite pour tout ε>0.
• Négliger la distinction entre limite à droite, à gauche et limite bilatérale.
• Utiliser la définition ε-δ sans adapter δ à ε, ou sans justifier le choix de δ.
• Penser qu’une limite à l’infini signifie que la fonction est bornée : c’est souvent le contraire.

2. Continuité et prolongement par continuité

La continuité d'une fonction en un point est une notion fondamentale en analyse. Intuitivement, une fonction est continue en un point si l’on peut tracer sa courbe sans lever le crayon à cet endroit. Plus formellement, la continuité exprime que la valeur de la fonction en ce point est bien approchée par les valeurs de la fonction en des points voisins. Cette propriété permet d’assurer que de petites variations de l’entrée entraînent de petites variations de la sortie.

Le prolongement par continuité intervient lorsqu’une fonction n’est pas définie en un point, mais que la limite en ce point existe et est finie. On peut alors définir une nouvelle fonction, égale à la fonction initiale là où elle est définie, et prenant pour valeur la limite au point considéré. Cette opération permet d’étendre le domaine de définition de la fonction tout en conservant la continuité. Le prolongement par continuité est souvent utilisé pour traiter des fonctions rationnelles ou définies par morceaux, notamment dans les cas de points de discontinuité évitable.

Points clés

• Une fonction f définie sur un intervalle I est dite continue en un point a ∈ I si lim(x→a) f(x) = f(a).
• La continuité sur un intervalle signifie que la fonction est continue en tout point de cet intervalle.
• Si une fonction n’est pas définie en un point a, mais que lim(x→a) f(x) existe et est finie, on peut définir f(a) comme cette limite pour obtenir une fonction continue en a.
• Le prolongement par continuité ne modifie pas la fonction là où elle était déjà définie et continue.
• Une discontinuité est dite évitable si la limite en ce point existe et est finie, mais la fonction n’est pas définie ou n’a pas la bonne valeur en ce point.
• Le prolongement par continuité est unique : il n’existe qu’une seule façon de prolonger la fonction pour qu’elle soit continue en ce point.
• La continuité est une propriété locale : elle se vérifie point par point.
• Le prolongement par continuité est souvent utilisé pour définir des fonctions comme sin(x)/x en 0 ou (x²−1)/(x−1) en 1.

Définitions

• Continuité en un point : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. On dit que f est continue en a si lim(x→a) f(x) = f(a).
• Prolongement par continuité : Soit f une fonction définie sur I∖{a}. Si lim(x→a) f(x) existe et est finie, on définit la fonction g sur I par g(x) = f(x) pour x ≠ a et g(a) = lim(x→a) f(x). La fonction g est alors le prolongement par continuité de f en a.
• Discontinuité évitable : On dit que f a une discontinuité évitable en a si lim(x→a) f(x) existe et est finie, mais f n’est pas définie en a ou f(a) ≠ lim(x→a) f(x).

Méthode

1. Vérifier que la fonction n’est pas définie ou n’est pas continue en un point a.
2. Calculer la limite de la fonction en ce point a.
3. Si la limite existe et est finie, définir une nouvelle fonction égale à la fonction initiale sur le domaine d’origine, et prenant pour valeur la limite en a.
4. Vérifier que la nouvelle fonction est bien continue en a (c’est automatique si la limite a été correctement calculée).

Exemple traité

Soit f définie sur ℝ∖{1} par f(x) = (x²−1)/(x−1). Peut-on prolonger f par continuité en 1 ? Si oui, donner le prolongement.

On remarque que f n’est pas définie en 1 car le dénominateur s’annule. Calculons la limite de f(x) quand x tend vers 1 : (x²−1)/(x−1) = [(x−1)(x+1)]/(x−1) = x+1 pour x ≠ 1. Donc, lim(x→1) f(x) = 1+1 = 2. On peut donc définir une nouvelle fonction g sur ℝ par : g(x) = (x²−1)/(x−1) si x ≠ 1, g(1) = 2. La fonction g est alors le prolongement par continuité de f en 1, et elle est continue en 1.

Pièges à éviter

• Confondre la limite en un point et la valeur de la fonction en ce point : la continuité impose que ces deux valeurs soient égales.
• Oublier de vérifier que la limite existe et est finie avant de prolonger par continuité.
• Croire que le prolongement par continuité est toujours possible, même lorsque la limite n’existe pas ou est infinie.
• Ne pas simplifier correctement l’expression avant de calculer la limite (par exemple, oublier de factoriser pour lever une forme indéterminée 0/0).
• Penser que le prolongement par continuité modifie la fonction sur tout le domaine, alors qu’il ne change que la valeur en un seul point.

3. Théorème des valeurs intermédiaires

Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) est un résultat fondamental de l’analyse réelle portant sur les fonctions continues définies sur un segment. Il affirme que toute valeur comprise entre les images des extrémités du segment est atteinte au moins une fois par la fonction. Ce théorème est souvent utilisé pour démontrer l’existence de solutions d’équations ou de zéros de fonctions continues, sans pour autant donner leur valeur explicite.

Le TVI repose sur l’hypothèse essentielle de la continuité de la fonction sur l’intervalle fermé [a, b]. Il ne s’applique pas si la fonction présente une discontinuité sur cet intervalle. Ce théorème est à la base de nombreux raisonnements d’existence en mathématiques, notamment pour prouver qu’une équation admet une solution dans un intervalle donné. Il est également utilisé pour justifier des méthodes numériques comme la dichotomie.

Il est important de bien vérifier toutes les hypothèses avant d’appliquer le TVI : la fonction doit être continue sur tout l’intervalle fermé considéré, et la valeur recherchée doit être comprise entre les images des bornes (ou égale à l’une d’elles). Une mauvaise vérification de ces conditions est une source fréquente d’erreurs.

Points clés

• Le TVI concerne les fonctions continues sur un segment [a, b] de ℝ.
• Si f est continue sur [a, b] et si y est un réel compris entre f(a) et f(b) (ou égal à l’une de ces valeurs), alors il existe au moins un c dans [a, b] tel que f(c) = y.
• Le TVI ne donne aucune information sur le nombre de solutions, ni sur leur localisation précise.
• Le TVI est valable quelle que soit la monotonie de la fonction.
• Le TVI permet notamment de prouver l’existence de racines d’équations continues.
• La continuité sur tout l’intervalle fermé [a, b] est indispensable.
• Le TVI ne s’applique pas si la valeur recherchée n’est pas comprise entre f(a) et f(b) (ou égale à l’une d’elles).
• Le TVI est indépendant de la dérivabilité de la fonction.

Définitions

• Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f une fonction continue sur un segment [a, b] de ℝ. Pour tout réel y compris entre f(a) et f(b) (c’est-à-dire tel qu’il existe λ ∈ [0, 1] avec y = λ f(a) + (1 − λ) f(b)), il existe au moins un réel c dans [a, b] tel que f(c) = y.
• Fonction continue sur [a, b] : Une fonction f est continue sur [a, b] si elle est continue en tout point de l’intervalle, c’est-à-dire si, pour tout x₀ ∈ [a, b], lim_{x→x₀} f(x) = f(x₀).

Méthode

1. Vérifier que la fonction f est continue sur l’intervalle fermé [a, b].
2. Calculer f(a) et f(b) pour déterminer l’intervalle des valeurs atteintes aux bornes.
3. Vérifier que la valeur y recherchée est comprise entre f(a) et f(b) (ou égale à l’une d’elles).
4. Conclure, grâce au TVI, qu’il existe au moins un c dans [a, b] tel que f(c) = y.
5. Si l’on cherche un zéro de la fonction, prendre y = 0 et appliquer la méthode précédente.

Exemples traités

Soit f définie sur [0, 2] par f(x) = x³ - x + 1. Montrer qu’il existe au moins un réel c dans [0, 2] tel que f(c) = 2.

1. f est un polynôme donc continue sur ℝ, en particulier sur [0, 2]. 2. Calculons f(0) = 0³ - 0 + 1 = 1 et f(2) = 2³ - 2 + 1 = 8 - 2 + 1 = 7. 3. 2 est compris entre 1 et 7. 4. Par le TVI, il existe donc au moins un c dans [0, 2] tel que f(c) = 2.

Soit g définie sur [−1, 1] par g(x) = cos(πx). Montrer qu’il existe un réel α dans [−1, 1] tel que g(α) = 0.

1. g est continue sur [−1, 1] car composée de fonctions continues. 2. g(−1) = cos(−π) = −1, g(1) = cos(π) = −1, g(0) = cos(0) = 1. 3. 0 est compris entre −1 et 1. 4. Par le TVI appliqué sur [−1, 0], il existe α ∈ [−1, 0] tel que g(α) = 0. En fait, g(−0,5) = cos(−0,5π) = 0, donc α = −0,5 convient.

Pièges à éviter

• Oublier de vérifier la continuité de la fonction sur tout l’intervalle.
• Appliquer le TVI alors que la valeur recherchée n’est pas comprise entre f(a) et f(b) (ou égale à l’une d’elles).
• Croire que le TVI garantit l’unicité de la solution, alors qu’il n’assure que l’existence.
• Confondre le TVI avec le théorème des bornes atteintes, qui porte sur les extrema.
• Penser que le TVI s’applique aux fonctions non continues ou sur des intervalles ouverts.

4. Bornes atteintes sur un segment

Le théorème des bornes atteintes, aussi appelé théorème de Weierstrass, est un résultat fondamental de l’analyse réelle. Il affirme que toute fonction continue sur un segment fermé et borné [a, b] admet un maximum et un minimum, c’est-à-dire qu’elle atteint ses bornes supérieure et inférieure sur ce segment. Ce théorème garantit donc l’existence de points où la fonction prend ses valeurs extrêmes, ce qui est essentiel pour de nombreux raisonnements en optimisation ou en étude de fonctions.

L’hypothèse de continuité sur le segment [a, b] est indispensable : une fonction discontinue peut ne pas atteindre ses bornes. De même, le fait que l’intervalle soit fermé et borné (c’est-à-dire un segment) est crucial ; sur un intervalle ouvert ou non borné, la conclusion du théorème peut être fausse. Ce résultat s’applique aussi bien aux fonctions réelles qu’aux fonctions à valeurs vectorielles (dans ℝⁿ), mais dans ce chapitre, on se limite au cas des fonctions réelles d’une variable réelle.

En pratique, pour déterminer les bornes atteintes d’une fonction continue sur un segment, il faut étudier les valeurs prises par la fonction aux bornes du segment et rechercher les éventuels extremums à l’intérieur du segment, généralement en étudiant les points où la dérivée s’annule si la fonction est dérivable. Il est important de comparer toutes ces valeurs pour identifier le maximum et le minimum effectifs.

Points clés

• Le théorème des bornes atteintes s’applique uniquement aux fonctions continues sur un segment [a, b].
• Une fonction continue sur [a, b] atteint à la fois un maximum et un minimum sur ce segment.
• Les points où les bornes sont atteintes peuvent être situés à l’intérieur du segment ou à ses extrémités.
• Si la fonction est dérivable sur ]a, b[, les extremums intérieurs sont recherchés parmi les points où la dérivée s’annule.
• Il faut toujours comparer les valeurs prises aux bornes du segment avec celles prises aux extremums intérieurs.
• Sur un intervalle ouvert ou non borné, une fonction continue peut ne pas atteindre ses bornes.
• Le théorème ne donne pas la valeur des extremums, mais garantit leur existence.
• Ce résultat est utilisé dans de nombreux problèmes d’optimisation et d’étude de fonctions.

Définitions

• Théorème des bornes atteintes : Toute fonction continue sur un segment fermé et borné [a, b] admet un maximum et un minimum, c’est-à-dire qu’il existe x₁, x₂ ∈ [a, b] tels que f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂) pour tout x ∈ [a, b].
• Segment : Un segment [a, b] est un intervalle fermé et borné de ℝ, c’est-à-dire l’ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b, avec a < b.
• Maximum (resp. minimum) d’une fonction sur un ensemble : On dit que f atteint un maximum (resp. minimum) en x₀ sur un ensemble E si f(x₀) ≥ f(x) (resp. f(x₀) ≤ f(x)) pour tout x ∈ E.

Méthode

1. Vérifier que la fonction est continue sur le segment [a, b].
2. Calculer les valeurs de la fonction aux bornes : f(a) et f(b).
3. Si la fonction est dérivable sur ]a, b[, rechercher les points critiques à l’intérieur du segment en résolvant f′(x) = 0.
4. Calculer les valeurs de la fonction en chaque point critique appartenant à [a, b].
5. Comparer toutes les valeurs obtenues (aux bornes et aux points critiques) pour déterminer le maximum et le minimum atteints.

Exemple traité

Soit f définie sur [0, 2] par f(x) = x² - 2x + 1. Déterminer les bornes atteintes de f sur [0, 2].

1) f est un polynôme, donc continue sur ℝ et en particulier sur [0, 2]. 2) Calculons f aux bornes : f(0) = 0² - 2×0 + 1 = 1 ; f(2) = 2² - 2×2 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1. 3) Cherchons les extremums intérieurs : f′(x) = 2x - 2. Résolvons 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1. 4) x = 1 ∈ [0, 2], donc calculons f(1) = 1² - 2×1 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0. 5) Les valeurs prises sont f(0) = 1, f(1) = 0, f(2) = 1. Le minimum est 0 atteint en x = 1, le maximum est 1 atteint en x = 0 et x = 2.

Pièges à éviter

• Oublier de vérifier la continuité de la fonction sur tout le segment.
• Négliger de comparer les valeurs aux bornes avec celles aux points critiques.
• Chercher des extremums en dehors du segment [a, b] ou oublier de vérifier que les points critiques appartiennent bien à [a, b].
• Appliquer le théorème à une fonction définie sur un intervalle ouvert ou non borné, ce qui est incorrect.
• Confondre le fait d’atteindre une borne (valeur effectivement prise) avec le fait d’avoir une borne supérieure ou inférieure (valeur éventuellement non atteinte).

5. Dérivabilité et tangentes

La dérivabilité d'une fonction en un point est une notion fondamentale de l'analyse, qui généralise la notion de pente d'une droite à celle de la tangente à une courbe. Une fonction f définie sur un intervalle I est dite dérivable en un point a de I si la limite du taux d'accroissement (f(x) - f(a)) / (x - a) existe et est finie lorsque x tend vers a. Cette limite, si elle existe, est appelée la dérivée de f en a et notée f′(a). La dérivabilité en a implique la continuité en a, mais la réciproque est fausse : une fonction peut être continue sans être dérivable.

La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a est la droite qui « colle » au mieux à la courbe en ce point. Son équation s'obtient à partir de la dérivée : si f est dérivable en a, la tangente au point (a, f(a)) a pour équation y = f′(a)(x - a) + f(a). Cette droite a pour coefficient directeur la valeur de la dérivée en a, c'est-à-dire la pente locale de la courbe.

La dérivabilité peut être étudiée à l'aide de calculs de limites, en vérifiant que le taux d'accroissement admet une limite finie. Certaines fonctions classiques (polynômes, exponentielle, sinus, cosinus, etc.) sont dérivables partout sur ℝ, tandis que d'autres, comme la valeur absolue, ne le sont pas en certains points. Il est important de bien maîtriser la définition et les méthodes de calcul pour déterminer la dérivabilité et l'équation de la tangente en un point donné.

Points clés

• La dérivabilité en un point implique la continuité en ce point.
• La dérivée en un point donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point.
• Si la limite du taux d'accroissement n'existe pas ou est infinie, la fonction n'est pas dérivable en ce point.
• La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation y = f′(a)(x - a) + f(a).
• Pour vérifier la dérivabilité, il faut souvent calculer la limite du taux d'accroissement à droite et à gauche, surtout pour les fonctions définies par morceaux.
• Une fonction peut être continue sans être dérivable (exemple : f(x) = |x| en 0).
• La dérivée peut être interprétée géométriquement comme la pente de la tangente.
• La non-dérivabilité peut provenir d'une « cassure » (pointe, angle, rupture de pente).

Définitions

• Dérivabilité en un point : Une fonction f définie sur un intervalle I est dite dérivable en a ∈ I si la limite lim_{x→a} (f(x) - f(a)) / (x - a) existe et est finie. Cette limite est appelée la dérivée de f en a, notée f′(a).
• Tangente à une courbe : La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a est la droite passant par (a, f(a)) et de coefficient directeur f′(a), c'est-à-dire d'équation y = f′(a)(x - a) + f(a).

Formules

• f′(a) = lim_{x→a} (f(x) - f(a)) / (x - a) — Définition de la dérivée de f en a, à utiliser pour vérifier la dérivabilité ou calculer la dérivée à partir de la définition.
• y = f′(a)(x - a) + f(a) — Équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a, à utiliser dès que f est dérivable en a.

Méthode

1. Vérifier que la fonction est définie au point a.
2. Calculer la limite du taux d'accroissement (f(x) - f(a)) / (x - a) lorsque x tend vers a.
3. Si la limite existe et est finie, conclure que f est dérivable en a et noter f′(a) sa valeur.
4. Écrire l'équation de la tangente en utilisant la formule y = f′(a)(x - a) + f(a).

Exemple traité

Soit f(x) = x². Déterminer si f est dérivable en a = 1, calculer f′(1), et donner l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1.

1) f est définie sur ℝ, donc en 1. 2) Calculons la limite du taux d'accroissement : (f(x) - f(1)) / (x - 1) = (x² - 1) / (x - 1) = ((x - 1)(x + 1)) / (x - 1) = x + 1 pour x ≠ 1. Lorsque x → 1, x + 1 → 2. Donc f est dérivable en 1 et f′(1) = 2. 3) L'équation de la tangente est y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1.

Pièges à éviter

• Confondre continuité et dérivabilité : une fonction peut être continue sans être dérivable.
• Oublier de vérifier la limite du taux d'accroissement à droite et à gauche pour les fonctions définies par morceaux.
• Utiliser la formule de la tangente sans avoir vérifié la dérivabilité.
• Croire que la dérivée existe même si le taux d'accroissement tend vers l'infini ou n'admet pas de limite.
• Oublier de simplifier le taux d'accroissement avant de passer à la limite, ce qui peut conduire à des formes indéterminées.

6. Théorème de Rolle et des accroissements finis

Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis (ou théorème de la moyenne) sont deux résultats fondamentaux de l’analyse, portant sur les fonctions réelles continues sur un segment [a, b] et dérivables sur l’intervalle ouvert ]a, b[. Ils permettent d’établir l’existence d’au moins un point où la dérivée prend une valeur particulière, ce qui a de nombreuses conséquences en analyse, notamment pour l’étude des variations et la résolution d’équations. Ces théorèmes sont souvent utilisés pour démontrer l’existence de solutions, établir des inégalités ou encore justifier des développements limités.

Le théorème de Rolle affirme que si une fonction est continue sur un segment [a, b], dérivable sur l’intervalle ouvert ]a, b[, et prend la même valeur aux extrémités (f(a) = f(b)), alors il existe au moins un point c dans ]a, b[ où la dérivée s’annule (f′(c) = 0). Le théorème des accroissements finis généralise ce résultat : si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe au moins un point c dans ]a, b[ tel que f′(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a). Ces résultats sont essentiels pour comprendre le comportement local et global des fonctions réelles.

L’application des théorèmes de Rolle et des accroissements finis nécessite de bien vérifier les hypothèses de continuité sur [a, b] et de dérivabilité sur ]a, b[. Ils sont également à la base de nombreuses démonstrations en analyse, comme la justification de l’unicité des solutions d’équations différentielles, l’étude de la croissance des fonctions, ou encore la preuve de l’inégalité des accroissements finis. Il est donc crucial de maîtriser leur énoncé, leur démonstration et leur mise en œuvre dans des exercices concrets.

Points clés

• Le théorème de Rolle s’applique uniquement si la fonction est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et si f(a) = f(b).
• Le théorème des accroissements finis (TAF) s’applique à toute fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.
• Le TAF permet d’affirmer qu’il existe c ∈ ]a, b[ tel que f′(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
• Le théorème de Rolle est un cas particulier du TAF lorsque f(a) = f(b).
• Ces théorèmes sont utilisés pour prouver l’existence de solutions, établir des inégalités, ou montrer que la dérivée s’annule ou prend une certaine valeur.
• Ils sont essentiels pour justifier les développements limités et l’étude des variations de fonctions.
• La vérification des hypothèses (continuité sur [a, b], dérivabilité sur ]a, b[, égalité des valeurs aux bornes pour Rolle) est indispensable avant d’appliquer ces théorèmes.
• Le point c dont l’existence est garantie par ces théorèmes n’est pas forcément unique.

Définitions

• Théorème de Rolle : Soit f une fonction réelle continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et telle que f(a) = f(b). Alors il existe au moins un point c dans ]a, b[ tel que f′(c) = 0.
• Théorème des accroissements finis (TAF) : Soit f une fonction réelle continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors il existe au moins un point c dans ]a, b[ tel que f′(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Formules

• f′(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a) — Formule du théorème des accroissements finis : elle donne la valeur de la dérivée en un point c intermédiaire, égale au taux de variation moyen de la fonction sur [a, b].
• f′(c) = 0 — Formule du théorème de Rolle : il existe un point c où la dérivée de f s’annule, si f(a) = f(b).

Méthode

1. Vérifier que la fonction est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.
2. Pour Rolle, vérifier en plus que f(a) = f(b).
3. Appliquer le théorème approprié (Rolle ou TAF) pour garantir l’existence d’un point c dans ]a, b[.
4. Exprimer la conclusion : existence de c tel que f′(c) = 0 (Rolle) ou f′(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a) (TAF).
5. Si besoin, calculer explicitement c en résolvant l’équation obtenue.

Exemple traité

Soit f(x) = x² - 4x + 3 sur l’intervalle [1, 3]. Vérifier que les hypothèses du théorème des accroissements finis sont vérifiées, puis déterminer un point c ∈ ]1, 3[ tel que f′(c) = (f(3) - f(1)) / (3 - 1).

1. f est un polynôme, donc continue sur ℝ et dérivable sur ℝ : les hypothèses sont vérifiées sur [1, 3]. 2. Calculons f(1) = 1² - 4×1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0 et f(3) = 3² - 4×3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0. 3. Le taux de variation moyen est (f(3) - f(1)) / (3 - 1) = (0 - 0) / 2 = 0. 4. Calculons la dérivée : f′(x) = 2x - 4. 5. Cherchons c ∈ ]1, 3[ tel que f′(c) = 0, soit 2c - 4 = 0 donc c = 2. 6. c = 2 appartient bien à ]1, 3[. Conclusion : il existe c = 2 tel que f′(c) = 0, ce qui vérifie à la fois le théorème de Rolle (car f(1) = f(3)) et le TAF.

Pièges à éviter

• Oublier de vérifier la continuité sur [a, b] ou la dérivabilité sur ]a, b[ avant d’appliquer le théorème.
• Confondre le théorème de Rolle (nécessite f(a) = f(b)) et le TAF (pas nécessaire).
• Croire que le point c est unique : il peut y en avoir plusieurs.
• Appliquer le théorème à une fonction non dérivable en un point de ]a, b[ (par exemple, une fonction en valeur absolue).
• Oublier que c doit appartenir strictement à l’intervalle ouvert ]a, b[.
• Confondre le taux de variation moyen (f(b) - f(a)) / (b - a) avec la dérivée en a ou en b.

7. Développements limités usuels

Les développements limités (DL) sont des outils fondamentaux en analyse pour approcher localement une fonction par un polynôme, généralement autour d’un point donné, le plus souvent 0 (développement limité en 0, ou développement de Taylor-Young). Ils permettent d’étudier le comportement local des fonctions, de calculer des limites, d’approximer des valeurs, ou encore de simplifier des calculs dans des démonstrations. Un développement limité d’ordre n d’une fonction f en a est une expression de la forme f(a+h) = f(a) + f′(a)h + f″(a)h²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)hⁿ/n! + o(hⁿ) lorsque h → 0.

Il existe des développements limités dits usuels, c’est-à-dire des formules classiques pour certaines fonctions courantes (exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, etc.), que l’on doit connaître par cœur et savoir utiliser. Ces DL sont valables pour des valeurs proches du point de développement (souvent 0), et leur utilisation suppose que la fonction considérée est suffisamment dérivable à cet endroit. Les DL sont très utilisés pour comparer des fonctions, établir des équivalents, ou encore résoudre des limites indéterminées.

La maîtrise des développements limités usuels nécessite de bien comprendre la notation o(xⁿ), qui désigne un reste négligeable devant xⁿ lorsque x tend vers 0. Il est aussi essentiel de savoir manipuler les DL pour composer, additionner, multiplier des fonctions, et de savoir tronquer correctement les termes selon l’ordre demandé. Enfin, il faut être attentif à la validité du DL (point de développement, domaine de définition, régularité de la fonction) pour éviter les erreurs classiques.

Points clés

• Le développement limité d’ordre n d’une fonction f en a s’écrit f(a+h) = f(a) + f′(a)h + f″(a)h²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)hⁿ/n! + o(hⁿ) pour h → 0.
• Les DL usuels sont à connaître pour les fonctions : exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, tangente, (1+x)^α, etc.
• La notation o(xⁿ) signifie que le reste est négligeable devant xⁿ lorsque x → 0 : limₓ→0 o(xⁿ)/xⁿ = 0.
• On peut additionner, soustraire, multiplier ou composer des DL, mais il faut toujours contrôler l’ordre du reste.
• Le DL d’une somme est la somme des DL, celui d’un produit est obtenu en développant et en ne gardant que les termes jusqu’à l’ordre demandé.
• Pour composer deux DL, il faut remplacer la variable du DL extérieur par le DL intérieur, puis développer à l’ordre voulu.
• Les DL sont valables uniquement dans un voisinage du point de développement, et la fonction doit être suffisamment dérivable.
• Les DL sont très utiles pour calculer des limites, établir des équivalents, ou simplifier des expressions compliquées.

Définitions

• Développement limité d’ordre n en a : Soit f une fonction définie et n fois dérivable sur un intervalle contenant a. On dit que f admet un développement limité d’ordre n en a si, pour tout h assez petit, f(a+h) = f(a) + f′(a)h + f″(a)h²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)hⁿ/n! + o(hⁿ) lorsque h → 0.
• o(xⁿ) : On dit que φ(x) = o(xⁿ) lorsque x → 0 si limₓ→0 φ(x)/xⁿ = 0. Cela signifie que φ(x) est négligeable devant xⁿ au voisinage de 0.

Formules

• eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + o(x³) — Développement limité de l’exponentielle en 0 à l’ordre 3.
• ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 + o(x³) — Développement limité du logarithme népérien en 0 à l’ordre 3, valable pour x > -1.
• sin(x) = x - x³/6 + o(x³) — Développement limité du sinus en 0 à l’ordre 3.
• cos(x) = 1 - x²/2 + o(x²) — Développement limité du cosinus en 0 à l’ordre 2.
• (1+x)^α = 1 + αx + α(α-1)x²/2 + o(x²) — Développement limité du binôme de Newton généralisé en 0 à l’ordre 2, pour tout réel α.

Méthode

1. Identifier la fonction à développer et le point de développement (souvent 0).
2. Écrire le DL usuel correspondant à la fonction, à l’ordre demandé.
3. Si la fonction est composée, remplacer la variable par l’expression intérieure et développer à l’ordre voulu.
4. En cas de somme ou de produit, additionner ou multiplier les DL en ne gardant que les termes jusqu’à l’ordre demandé.
5. Simplifier l’expression obtenue et vérifier que le reste est bien de l’ordre o(xⁿ) attendu.
6. Utiliser le DL pour calculer la limite, l’équivalent ou l’approximation demandée.

Exemple traité

Développer à l’ordre 3 en 0 la fonction f(x) = eˣ·sin(x).

On commence par écrire les DL usuels à l’ordre 3 : eˣ = 1 + x + x²/2 + x³/6 + o(x³), sin(x) = x - x³/6 + o(x³). On multiplie ces deux DL : (1 + x + x²/2 + x³/6)(x - x³/6) = (1)(x) + (1)(-x³/6) + (x)(x) + (x)(-x³/6) + (x²/2)(x) + (x²/2)(-x³/6) + (x³/6)(x) + (x³/6)(-x³/6). On ne garde que les termes jusqu’à x³ : - Terme en x : (1)×x = x - Terme en x² : (x)×x = x² - Termes en x³ : (x²/2)×x = x³/2 ; (1)×(-x³/6) = -x³/6 Somme des termes en x³ : x³/2 - x³/6 = (1/2 - 1/6)x³ = (1/3)x³ On vérifie que les autres produits donnent des termes d’ordre supérieur à x³ ou sont inclus dans o(x³). Donc, f(x) = x + x² + (1/3)x³ + o(x³) lorsque x → 0.

Pièges à éviter

• Oublier de tronquer le développement à l’ordre demandé et garder des termes d’ordre supérieur.
• Confondre la notation o(xⁿ) avec O(xⁿ) : o(xⁿ) est négligeable devant xⁿ, alors que O(xⁿ) est du même ordre ou plus petit.
• Utiliser un DL en dehors de son domaine de validité (par exemple, ln(1+x) pour x ≤ -1).
• Oublier de vérifier que la fonction est suffisamment dérivable au point de développement.
• Ne pas développer correctement lors de la composition ou du produit de deux DL.
• Négliger le contrôle du reste : il faut toujours s’assurer que le reste est bien o(xⁿ) à l’ordre demandé.

À retenir

• La notion de voisinage permet de formuler rigoureusement la définition des limites et de décrire la proximité d’un point.
• La limite d’une fonction en un point formalise l’idée que les valeurs de la fonction se rapprochent d’une valeur donnée lorsque la variable s’approche de ce point.
• La définition rigoureuse de la limite utilise les voisinages ou la formulation epsilon-delta, et il faut exclure le point a dans la définition.
• La continuité en un point signifie que la valeur de la fonction en ce point est bien approchée par les valeurs en des points voisins.
• Le prolongement par continuité permet de définir une fonction continue en un point où elle n’était pas initialement définie, si la limite existe et est finie.
• Le théorème des valeurs intermédiaires affirme qu’une fonction continue sur un segment atteint toutes les valeurs entre ses extrémités.
• Pour appliquer le TVI, il faut vérifier la continuité sur [a, b] et que la valeur recherchée est comprise entre f(a) et f(b).
• Le théorème des bornes atteintes (Weierstrass) garantit qu’une fonction continue sur un segment fermé et borné atteint un maximum et un minimum.
• La dérivabilité en un point signifie que le taux d’accroissement admet une limite finie, appelée dérivée ; la dérivabilité implique la continuité.
• L’équation de la tangente en un point dérivable est y = f′(a)(x - a) + f(a), où f′(a) est la pente locale.
• Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis établissent l’existence de points où la dérivée prend une valeur particulière, sous des hypothèses précises de continuité et dérivabilité.
• Les développements limités permettent d’approximer localement une fonction par un polynôme, facilitant le calcul de limites et l’étude du comportement local des fonctions.

Quelques flashcards pour vous tester

Qu'est-ce qu'un voisinage d'un point a ?

Un voisinage de a∈ℝ est tout ensemble contenant un intervalle ouvert centré en a, c’est-à-dire qu’il existe r>0 tel que ]a−r,a+r[⊆V.

Comment définit-on la limite d'une fonction en un point ?

On dit que f admet pour limite ℓ en a si, pour tout voisinage V de ℓ, il existe un voisinage U de a tel que pour tout x∈U∩I, x≠a, f(x)∈V.

Quelles sont les limites à droite et à gauche ?

La limite à droite est notée lim_{x→a⁺} f(x)=ℓ et la limite à gauche est notée lim_{x→a⁻} f(x)=ℓ, chacune utilisant des voisinages spécifiques.

Qu'est-ce que la continuité d'une fonction en un point ?

Une fonction f est continue en a si lim(x→a) f(x) = f(a).

Qu'est-ce que le prolongement par continuité ?

Le prolongement par continuité permet de définir une nouvelle fonction, prenant pour valeur la limite au point considéré, lorsque la limite existe et est finie.

Qu'affirme le théorème des valeurs intermédiaires ?

Il affirme que si f est continue sur [a, b] et y est un réel compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un c dans [a, b] tel que f(c) = y.

Trois questions du quiz

1. Qu'est-ce qu'un voisinage d'un point a dans ℝ ?

   • Un ensemble contenant uniquement le point a
   • Un ensemble contenant tous les réels
   • Un ensemble vide
   • Un ensemble contenant un intervalle ouvert centré en a
   Voir la réponse

   Un ensemble contenant un intervalle ouvert centré en a — Un voisinage de a∈ℝ est tout ensemble contenant un intervalle ouvert centré en a.

2. Quelle condition définit la continuité en a d'une fonction f définie en a ?

   • f est dérivable en a
   • f est bornée au voisinage de a
   • lim(x→a) f(x) = f(a)
   • f(a) = 0
   Voir la réponse

   lim(x→a) f(x) = f(a) — f est continue en a lorsque sa limite en a existe et vaut f(a). La dérivabilité implique la continuité, mais ne la définit pas.

3. Quel est le théorème qui garantit qu'une fonction continue sur un segment atteint ses bornes ?

   • Théorème des accroissements finis
   • Théorème des bornes atteintes
   • Théorème des valeurs intermédiaires
   • Théorème de Rolle
   Voir la réponse

   Théorème des bornes atteintes — Le théorème des bornes atteintes affirme que toute fonction continue sur un segment fermé et borné [a, b] admet un maximum et un minimum.