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Introduction
Cette fiche de révision porte sur les concepts fondamentaux de l’algèbre linéaire, en particulier les espaces vectoriels et les matrices. L’algèbre linéaire est une branche centrale des mathématiques, essentielle pour la résolution de systèmes d’équations, la modélisation, et l’analyse de structures mathématiques complexes. Maîtriser ces notions est indispensable pour aborder des sujets avancés en mathématiques, physique, informatique ou ingénierie. La fiche suit un plan progressif : définition des espaces vectoriels et de leurs sous-espaces, étude des familles libres et génératrices, introduction aux bases et à la dimension, exploration des applications linéaires et de leurs sous-espaces associés, et enfin, la représentation matricielle et le changement de base.
Plan
- Espaces et sous-espaces vectoriels
- Familles libres et génératrices
- Bases et dimension
- Applications linéaires, noyau et image
- Matrices et changement de base
1. Espaces et sous-espaces vectoriels
Un espace vectoriel (ou espace linéaire) sur un corps K est un ensemble muni de deux opérations : l’addition de vecteurs et la multiplication par un scalaire, qui vérifient huit axiomes fondamentaux (associativité et commutativité de l’addition, existence d’un neutre et d’un opposé pour l’addition, distributivité de la multiplication externe par rapport à l’addition des vecteurs et des scalaires, compatibilité des opérations, existence d’un élément neutre pour la multiplication externe). Les espaces vectoriels généralisent la notion de plans et d’espaces usuels, mais peuvent aussi être constitués de fonctions, de suites ou de matrices. Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés vecteurs, et les éléments du corps K sont appelés scalaires.
Un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E est une partie F de E qui est elle-même un espace vectoriel pour les mêmes opérations. Pour qu’une partie F soit un sous-espace vectoriel, il suffit de vérifier trois propriétés : F contient le vecteur nul de E, F est stable par addition (la somme de deux éléments de F est encore dans F), et F est stable par multiplication par un scalaire (le produit d’un scalaire de K par un élément de F est encore dans F).
Les sous-espaces vectoriels jouent un rôle fondamental en algèbre linéaire, car ils permettent de décomposer et d’analyser la structure des espaces vectoriels. L’intersection de sous-espaces vectoriels est toujours un sous-espace vectoriel, tandis que la réunion ne l’est généralement pas. L’ensemble des sous-espaces vectoriels de E, muni de l’inclusion, forme une structure hiérarchique importante pour l’étude des applications linéaires et des systèmes d’équations.
Points clés
- Un espace vectoriel E sur un corps K est un ensemble où l’on peut additionner des vecteurs et multiplier par des scalaires, en respectant huit axiomes.
- Le vecteur nul (noté 0) appartient toujours à tout espace vectoriel et à tout sous-espace vectoriel.
- Un sous-espace vectoriel F de E est une partie non vide de E stable par addition et multiplication par un scalaire.
- Pour vérifier qu’une partie F de E est un sous-espace vectoriel, il suffit de vérifier : 0 ∈ F, x, y ∈ F ⇒ x + y ∈ F, et λ ∈ K, x ∈ F ⇒ λx ∈ F.
- L’intersection de sous-espaces vectoriels est toujours un sous-espace vectoriel.
- La somme de deux sous-espaces vectoriels F et G de E est l’ensemble des sommes x + y avec x ∈ F et y ∈ G ; c’est aussi un sous-espace vectoriel.
- La réunion de deux sous-espaces vectoriels n’est pas en général un sous-espace vectoriel.
- L’espace vectoriel nul {0} et l’espace vectoriel E lui-même sont toujours des sous-espaces vectoriels de E.
Définitions
- Espace vectoriel : Un espace vectoriel E sur un corps K est un ensemble muni d’une addition (x, y) ↦ x + y et d’une multiplication externe (λ, x) ↦ λx, où x, y ∈ E et λ ∈ K, telles que : (E, +) est un groupe abélien, la multiplication externe est associative et distributive par rapport à l’addition des vecteurs et des scalaires, 1x = x pour tout x ∈ E, et 0x = 0 pour tout x ∈ E.
- Sous-espace vectoriel : Un sous-espace vectoriel F d’un espace vectoriel E sur K est une partie F ⊆ E telle que : 0 ∈ F, x, y ∈ F ⇒ x + y ∈ F, et λ ∈ K, x ∈ F ⇒ λx ∈ F.
Méthode
- Pour montrer qu’une partie F d’un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel :
- 1. Vérifier que le vecteur nul 0 de E appartient à F.
- 2. Vérifier que F est stable par addition : pour tous x, y ∈ F, x + y ∈ F.
- 3. Vérifier que F est stable par multiplication par un scalaire : pour tout λ ∈ K et tout x ∈ F, λx ∈ F.
Exemple traité
Soit E = ℝ³ et F = {(x, y, z) ∈ ℝ³ | x + y + z = 0}. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de ℝ³.
1. Vérifions que 0 ∈ F : le vecteur nul de ℝ³ est (0, 0, 0), et 0 + 0 + 0 = 0, donc (0, 0, 0) ∈ F. 2. Stabilité par addition : soient u = (x₁, y₁, z₁) ∈ F et v = (x₂, y₂, z₂) ∈ F. Alors x₁ + y₁ + z₁ = 0 et x₂ + y₂ + z₂ = 0. Leur somme est u + v = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂). La somme des composantes vaut (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂) + (z₁ + z₂) = (x₁ + y₁ + z₁) + (x₂ + y₂ + z₂) = 0 + 0 = 0. Donc u + v ∈ F. 3. Stabilité par multiplication par un scalaire : soit λ ∈ ℝ et u = (x, y, z) ∈ F. Alors λu = (λx, λy, λz), et la somme des composantes est λx + λy + λz = λ(x + y + z) = λ × 0 = 0. Donc λu ∈ F. Conclusion : F est un sous-espace vectoriel de ℝ³.
Pièges à éviter
- Oublier de vérifier la présence du vecteur nul dans la partie F.
- Confondre la réunion et la somme de sous-espaces vectoriels : la réunion n’est pas en général un sous-espace.
- Penser qu’il suffit de vérifier la stabilité par multiplication par un scalaire pour un seul scalaire (par exemple λ = 1), alors qu’il faut le faire pour tout λ ∈ K.
- Croire qu’une partie non vide stable par addition est automatiquement un sous-espace vectoriel, sans vérifier la stabilité par multiplication par un scalaire.
- Oublier que les sous-espaces vectoriels doivent être des parties de l’espace vectoriel initial, avec les mêmes opérations.
2. Familles libres et génératrices
Dans un espace vectoriel E sur un corps K, l’étude des familles libres et génératrices est fondamentale pour comprendre la structure de E. Une famille de vecteurs est dite libre si aucun vecteur de la famille ne peut s’écrire comme une combinaison linéaire des autres. À l’inverse, une famille est dite liée s’il existe une combinaison linéaire non triviale des vecteurs qui donne le vecteur nul. Une famille génératrice est une famille de vecteurs dont les combinaisons linéaires engendrent tout l’espace vectoriel E, c’est-à-dire que tout vecteur de E peut s’écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de la famille.
Ces notions sont essentielles pour aborder la notion de base d’un espace vectoriel, qui est une famille à la fois libre et génératrice. Savoir déterminer si une famille est libre ou génératrice permet de simplifier des systèmes d’équations linéaires, de comprendre la dimension d’un espace, et de manipuler efficacement les matrices associées aux applications linéaires. Les méthodes de vérification reposent sur la résolution de systèmes d’équations et l’analyse des combinaisons linéaires.
Il est important de bien distinguer les notions de liberté et de génération : une famille peut être libre sans être génératrice, génératrice sans être libre, ou ni l’un ni l’autre. Les erreurs d’interprétation sont fréquentes, notamment lors de la manipulation de familles de vecteurs dans des espaces de dimension supérieure à 2 ou 3.
Points clés
- Une famille (v₁, …, vₙ) de vecteurs de E est libre si la seule combinaison linéaire λ₁v₁ + … + λₙvₙ = 0 est celle où tous les scalaires λ₁, …, λₙ sont nuls.
- Une famille est liée s’il existe des scalaires, non tous nuls, tels que λ₁v₁ + … + λₙvₙ = 0.
- Une famille (v₁, …, vₙ) est génératrice de E si tout vecteur de E peut s’écrire comme une combinaison linéaire des v₁, …, vₙ.
- Si une famille contient le vecteur nul, elle est toujours liée.
- Dans un espace vectoriel de dimension finie n, toute famille de plus de n vecteurs est liée.
- Dans un espace vectoriel de dimension n, toute famille génératrice de n vecteurs est libre, et toute famille libre de n vecteurs est génératrice.
- Pour vérifier si une famille est libre ou génératrice, on résout un système linéaire associé aux vecteurs de la famille.
- La liberté et la génération sont des propriétés indépendantes : une famille peut être libre sans être génératrice et inversement.
Définitions
- Famille libre : Une famille (v₁, …, vₙ) de vecteurs de E est dite libre si la seule combinaison linéaire λ₁v₁ + … + λₙvₙ = 0 est celle où tous les scalaires λ₁, …, λₙ sont nuls.
- Famille liée : Une famille (v₁, …, vₙ) de vecteurs de E est dite liée s’il existe des scalaires, non tous nuls, tels que λ₁v₁ + … + λₙvₙ = 0.
- Famille génératrice : Une famille (v₁, …, vₙ) de vecteurs de E est dite génératrice si tout vecteur de E peut s’écrire comme une combinaison linéaire des v₁, …, vₙ.
- Combinaison linéaire : Une combinaison linéaire des vecteurs v₁, …, vₙ est toute expression de la forme λ₁v₁ + … + λₙvₙ, où les λᵢ sont des scalaires de K.
Méthode
- Pour tester la liberté d’une famille (v₁, …, vₙ) de vecteurs de E :
- 1. Écrire l’équation λ₁v₁ + … + λₙvₙ = 0.
- 2. Traduire cette équation en un système linéaire sur les scalaires λ₁, …, λₙ.
- 3. Résoudre ce système : si la seule solution est λ₁ = … = λₙ = 0, la famille est libre ; sinon, elle est liée.
- Pour tester si une famille (v₁, …, vₙ) est génératrice de E :
- 1. Prendre un vecteur arbitraire w de E.
- 2. Chercher s’il existe des scalaires λ₁, …, λₙ tels que w = λ₁v₁ + … + λₙvₙ.
- 3. Si c’est possible pour tout w de E, la famille est génératrice ; sinon, elle ne l’est pas.
Exemples traités
Dans ℝ³, la famille (u₁, u₂, u₃) avec u₁ = (1,0,0), u₂ = (0,1,0), u₃ = (1,1,0) est-elle libre ? Est-elle génératrice ?
On cherche s’il existe des scalaires λ₁, λ₂, λ₃ tels que λ₁u₁ + λ₂u₂ + λ₃u₃ = 0. Cela donne : λ₁(1,0,0) + λ₂(0,1,0) + λ₃(1,1,0) = (0,0,0), soit (λ₁ + λ₃, λ₂ + λ₃, 0) = (0,0,0). On obtient le système : λ₁ + λ₃ = 0, λ₂ + λ₃ = 0, 0 = 0. Donc λ₃ = -λ₁ et λ₃ = -λ₂, donc λ₁ = λ₂. Les solutions sont donc λ₁ = λ₂ = t, λ₃ = -t, pour t ∈ ℝ. Il existe donc des solutions non nulles, la famille est liée. Pour la génération, on cherche si tout vecteur (x, y, z) de ℝ³ peut s’écrire comme combinaison linéaire des u₁, u₂, u₃. Or, tous les vecteurs de la famille ont une troisième coordonnée nulle, donc toute combinaison linéaire aura la forme (a, b, 0). Il est donc impossible d’obtenir un vecteur avec une troisième coordonnée non nulle, donc la famille n’est pas génératrice de ℝ³.
Dans ℝ², la famille (v₁, v₂) avec v₁ = (1,2), v₂ = (3,4) est-elle libre et génératrice ?
On cherche s’il existe des scalaires λ₁, λ₂ tels que λ₁v₁ + λ₂v₂ = 0. Cela donne λ₁(1,2) + λ₂(3,4) = (0,0), soit (λ₁ + 3λ₂, 2λ₁ + 4λ₂) = (0,0). Le système est : λ₁ + 3λ₂ = 0, 2λ₁ + 4λ₂ = 0. De la première, λ₁ = -3λ₂ ; en reportant dans la seconde : -6λ₂ + 4λ₂ = -2λ₂ = 0, donc λ₂ = 0, puis λ₁ = 0. La seule solution est la solution nulle : la famille est libre (son déterminant, 1×4 − 3×2 = −2, est non nul). Pour la génération, on cherche si tout (x, y) ∈ ℝ² peut s’écrire comme combinaison linéaire de v₁ et v₂. On pose (x, y) = α(1,2) + β(3,4) = (α + 3β, 2α + 4β). On résout : α + 3β = x, 2α + 4β = y. On peut exprimer α = x - 3β, puis 2(x - 3β) + 4β = y, soit 2x - 6β + 4β = y, donc 2x - 2β = y, donc β = (2x - y)/2. Puis α = x - 3β. Il existe donc une solution pour tout (x, y), donc la famille est génératrice. Libre et génératrice, (v₁, v₂) est une base de ℝ². Libre et génératrice, (v₁, v₂) est une base de ℝ².
Pièges à éviter
- Confondre liberté et génération : une famille libre n’est pas forcément génératrice, et inversement.
- Oublier que la présence du vecteur nul dans une famille implique toujours qu’elle est liée.
- Penser qu’une famille de n vecteurs dans un espace de dimension n est toujours une base : il faut vérifier à la fois la liberté et la génération.
- Négliger de vérifier l’indépendance des équations lors de la résolution du système associé à la liberté.
- Oublier que dans un espace de dimension n, toute famille de plus de n vecteurs est nécessairement liée.
- Croire qu’une famille génératrice doit forcément être libre : ce n’est vrai que si le nombre de vecteurs est égal à la dimension de l’espace.
3. Bases et dimension
La notion de base est centrale en algèbre linéaire : une base d’un espace vectoriel E est une famille de vecteurs à la fois libre et génératrice de E. Cela signifie que tout vecteur de E s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base. L’existence d’une base est garantie pour tout espace vectoriel (non nul ou non, par convention la base de l’espace nul est la famille vide), et toutes les bases d’un même espace vectoriel ont le même nombre d’éléments, appelé la dimension de l’espace.
La dimension d’un espace vectoriel E, notée dim(E), est donc le cardinal (le nombre d’éléments) de n’importe quelle base de E. Cette notion permet de comparer des espaces vectoriels et de caractériser certains sous-espaces. Par exemple, dans ℝⁿ, la dimension est n, et la base canonique est constituée des vecteurs ayant un 1 à une seule position et 0 ailleurs.
Pour déterminer si une famille de vecteurs est une base, il faut vérifier à la fois la liberté (aucune combinaison linéaire non triviale nulle) et la génération (tout vecteur de l’espace s’exprime comme combinaison linéaire de la famille). Plusieurs méthodes existent pour cela, notamment le calcul du rang d’une matrice associée ou la résolution de systèmes linéaires. La dimension d’un sous-espace vectoriel est toujours inférieure ou égale à celle de l’espace ambiant, et l’égalité n’a lieu que si le sous-espace est égal à l’espace tout entier.
Points clés
- Une base d’un espace vectoriel E est une famille de vecteurs à la fois libre et génératrice de E.
- La dimension d’un espace vectoriel est le nombre de vecteurs dans une base de cet espace.
- Toutes les bases d’un même espace vectoriel ont le même nombre d’éléments.
- Dans ℝⁿ, la base canonique est (e₁, e₂, …, eₙ) où eᵢ a un 1 à la i-ème position et 0 ailleurs.
- Un sous-espace vectoriel de dimension k admet une base de k vecteurs.
- Si une famille libre de vecteurs a autant d’éléments que la dimension de l’espace, c’est une base.
- Si une famille génératrice a autant d’éléments que la dimension de l’espace, c’est une base.
- La dimension d’un sous-espace F de E vérifie dim(F) ≤ dim(E), avec égalité si et seulement si F = E.
Définitions
- Base : Une base d’un espace vectoriel E est une famille (v₁, …, vₙ) de vecteurs de E qui est à la fois libre (aucune combinaison linéaire non triviale nulle) et génératrice (tout vecteur de E est combinaison linéaire des vᵢ).
- Dimension : La dimension d’un espace vectoriel E, notée dim(E), est le nombre de vecteurs dans une base de E.
- Famille libre : Une famille (v₁, …, vₖ) de vecteurs est dite libre si la seule combinaison linéaire nulle est la combinaison triviale : λ₁v₁ + … + λₖvₖ = 0 implique λ₁ = … = λₖ = 0.
- Famille génératrice : Une famille (v₁, …, vₖ) de vecteurs est génératrice de E si tout vecteur de E s’écrit comme combinaison linéaire des vᵢ.
Méthode
- Pour vérifier qu’une famille (v₁, …, vₖ) est une base de E :
- 1. Vérifier la liberté : résoudre λ₁v₁ + … + λₖvₖ = 0, montrer que la seule solution est λ₁ = … = λₖ = 0.
- 2. Vérifier la génération : montrer que pour tout v ∈ E, il existe des scalaires α₁, …, αₖ tels que v = α₁v₁ + … + αₖvₖ.
- 3. Si la famille a autant d’éléments que la dimension de E, il suffit de vérifier soit la liberté, soit la génération (l’autre propriété en découle).
Exemples traités
Soit E = ℝ³ et la famille (u₁, u₂, u₃) avec u₁ = (1,0,1), u₂ = (0,1,1), u₃ = (1,1,2). Cette famille est-elle une base de ℝ³ ?
1. On vérifie la liberté : on cherche λ₁, λ₂, λ₃ tels que λ₁u₁ + λ₂u₂ + λ₃u₃ = 0. Cela donne : λ₁(1,0,1) + λ₂(0,1,1) + λ₃(1,1,2) = (0,0,0). On obtient le système : (1) λ₁ + λ₃ = 0 ; (2) λ₂ + λ₃ = 0 ; (3) λ₁ + λ₂ + 2λ₃ = 0. De (1) λ₃ = -λ₁, de (2) λ₃ = -λ₂ donc λ₁ = λ₂. Remplaçons dans (3) : λ₁ + λ₁ + 2(-λ₁) = 0 soit 2λ₁ - 2λ₁ = 0 donc 0 = 0. Les solutions sont λ₁ = λ₂ = t, λ₃ = -t. Donc il existe des solutions non nulles (par exemple t = 1), donc la famille n’est pas libre. 2. La famille n’est donc pas une base de ℝ³.
Soit F le sous-espace de ℝ³ engendré par les vecteurs v₁ = (1,2,3) et v₂ = (2,4,6). Quelle est la dimension de F ?
On remarque que v₂ = 2v₁, donc les deux vecteurs sont colinéaires. La famille (v₁, v₂) n’est pas libre, mais (v₁) seul est libre et engendre F. Donc F est une droite vectorielle de ℝ³, sa dimension est 1, et (v₁) est une base de F.
Pièges à éviter
- Confondre famille libre et famille génératrice : une famille peut être libre sans être génératrice, ou génératrice sans être libre.
- Penser qu’il suffit de vérifier la liberté ou la génération pour conclure à une base, sans tenir compte du nombre de vecteurs.
- Oublier que la dimension d’un sous-espace ne peut pas dépasser celle de l’espace ambiant.
- Croire qu’une famille de n vecteurs dans ℝⁿ est toujours une base : il faut vérifier la liberté ou la génération.
- Négliger de vérifier l’unicité de l’écriture dans la définition de base.
4. Applications linéaires, noyau et image
Une application linéaire est une fonction entre deux espaces vectoriels qui respecte les opérations de somme et de multiplication par un scalaire. Plus précisément, si E et F sont deux espaces vectoriels sur un même corps K, une application f : E → F est dite linéaire si, pour tous vecteurs u, v de E et tout scalaire λ de K, on a f(u + v) = f(u) + f(v) et f(λu) = λf(u). Les applications linéaires jouent un rôle central en algèbre linéaire car elles permettent d’étudier les transformations qui préservent la structure vectorielle.
Deux sous-espaces fondamentaux sont associés à toute application linéaire f : le noyau et l’image. Le noyau de f, noté Ker(f), est l’ensemble des vecteurs de E envoyés sur le vecteur nul de F : Ker(f) = {x ∈ E | f(x) = 0}. L’image de f, notée Im(f), est l’ensemble des vecteurs de F qui sont l’image d’au moins un vecteur de E : Im(f) = {y ∈ F | il existe x ∈ E tel que f(x) = y}. Ces deux sous-espaces permettent de caractériser des propriétés essentielles de f, comme l’injectivité et la surjectivité.
L’étude du noyau et de l’image permet notamment de déterminer si une application linéaire est injective (si et seulement si son noyau est réduit au vecteur nul) ou surjective (si et seulement si son image est égale à tout F). La dimension du noyau et celle de l’image sont reliées à la dimension de E par le théorème du rang, qui affirme que dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)), lorsque E est de dimension finie. Cette relation est fondamentale pour résoudre des systèmes linéaires et pour comprendre la structure des applications linéaires entre espaces de dimension finie.
Points clés
- Une application linéaire f : E → F respecte la somme et la multiplication par un scalaire.
- Le noyau Ker(f) est toujours un sous-espace vectoriel de E.
- L’image Im(f) est toujours un sous-espace vectoriel de F.
- f est injective si et seulement si Ker(f) = {0}.
- f est surjective si et seulement si Im(f) = F.
- Le théorème du rang : dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)), lorsque E est de dimension finie.
- Pour déterminer Ker(f), il faut résoudre l’équation f(x) = 0.
- Pour déterminer Im(f), il faut trouver les combinaisons linéaires possibles des images des vecteurs d’une base de E.
Définitions
- Application linéaire : Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K. Une application f : E → F est dite linéaire si, pour tous u, v ∈ E et tout λ ∈ K, on a f(u + v) = f(u) + f(v) et f(λu) = λf(u).
- Noyau (Ker(f)) : Le noyau d’une application linéaire f : E → F est l’ensemble des vecteurs de E envoyés sur le vecteur nul de F : Ker(f) = {x ∈ E | f(x) = 0}.
- Image (Im(f)) : L’image d’une application linéaire f : E → F est l’ensemble des vecteurs de F qui sont l’image d’au moins un vecteur de E : Im(f) = {y ∈ F | il existe x ∈ E tel que f(x) = y}.
Méthode
- Pour vérifier qu’une application est linéaire, montrer qu’elle respecte la somme et la multiplication par un scalaire.
- Pour déterminer le noyau Ker(f), écrire l’équation f(x) = 0 et résoudre ce système pour x.
- Pour déterminer l’image Im(f), calculer f sur une base de E, puis déterminer l’espace vectoriel engendré par ces images.
- Pour vérifier l’injectivité, vérifier si Ker(f) = {0}.
- Pour vérifier la surjectivité, vérifier si Im(f) = F.
- Pour appliquer le théorème du rang, calculer la dimension du noyau et celle de l’image, puis vérifier que leur somme donne la dimension de E.
Exemple traité
Soit f : ℝ³ → ℝ² définie par f(x, y, z) = (x + y, y + z). Déterminer si f est linéaire, calculer son noyau et son image, et préciser si f est injective ou surjective.
1) Vérification de la linéarité : Pour (x, y, z), (x', y', z') ∈ ℝ³ et λ ∈ ℝ, f((x, y, z) + (x', y', z')) = f(x + x', y + y', z + z') = (x + x' + y + y', y + y' + z + z') = (x + y + x' + y', y + z + y' + z') = (x + y, y + z) + (x' + y', y' + z') = f(x, y, z) + f(x', y', z'). De même, f(λ(x, y, z)) = f(λx, λy, λz) = (λx + λy, λy + λz) = λ(x + y, y + z) = λf(x, y, z). Donc f est linéaire. 2) Calcul du noyau : On cherche (x, y, z) ∈ ℝ³ tel que f(x, y, z) = (0, 0), soit x + y = 0 et y + z = 0. Première équation : x = -y. Deuxième équation : z = -y. Donc tout vecteur du noyau s’écrit (x, y, z) = (-y, y, -y) = y(-1, 1, -1), y ∈ ℝ. Donc Ker(f) = vect{(-1, 1, -1)} et dim(Ker(f)) = 1. 3) Calcul de l’image : Calculons f sur une base de ℝ³ : f(1, 0, 0) = (1, 0), f(0, 1, 0) = (1, 1), f(0, 0, 1) = (0, 1). Les images sont (1, 0), (1, 1), (0, 1). On vérifie que (1, 1) = (1, 0) + (0, 1), donc l’image est engendrée par (1, 0) et (0, 1), qui forment une base de ℝ². Donc Im(f) = ℝ² et dim(Im(f)) = 2. 4) Injectivité et surjectivité : Ker(f) ≠ {0}, donc f n’est pas injective. Im(f) = ℝ², donc f est surjective.
Pièges à éviter
- Confondre le noyau et l’image : le noyau est un sous-espace de E, l’image est un sous-espace de F.
- Oublier de vérifier les deux propriétés de linéarité (somme et multiplication par un scalaire) lors de la justification.
- Croire qu’une application linéaire est injective dès que son image est de dimension maximale : il faut vérifier le noyau.
- Penser que le noyau est toujours nul ou que l’image est toujours égale à F : ce n’est vrai que dans des cas particuliers.
- Oublier que le théorème du rang ne s’applique que lorsque E est de dimension finie.
- Ne pas vérifier que les vecteurs obtenus pour l’image sont bien linéairement indépendants avant de conclure sur la dimension.
5. Matrices et changement de base
Dans un espace vectoriel de dimension finie, la représentation d’un vecteur ou d’une application linéaire dépend de la base choisie. Lorsqu’on change de base, la matrice associée à une application linéaire change également, mais l’application elle-même reste la même. Comprendre comment transformer la matrice d’une application linéaire lors d’un changement de base est fondamental pour comparer des représentations et effectuer des calculs dans la base la plus adaptée.
Le passage d’une base à une autre se fait à l’aide d’une matrice dite de passage. Cette matrice permet de convertir les coordonnées d’un vecteur ou la matrice d’une application linéaire d’une base à une autre. La connaissance de la matrice de passage et de ses propriétés (notamment son inversibilité) est essentielle pour manipuler efficacement les matrices dans différents systèmes de coordonnées.
Points clés
- Une base d’un espace vectoriel E de dimension n est un ensemble de n vecteurs linéairement indépendants qui engendrent E.
- La matrice de passage de la base B à la base B' est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de B' exprimés dans la base B.
- Si P est la matrice de passage de B à B', alors pour tout vecteur x de E, on a : coordonnées de x dans B' = P⁻¹ × (coordonnées de x dans B).
- La matrice d’une application linéaire f : E → E dans une base B est notée Mat_B(f).
- Si on change de base de B à B', la matrice de f dans la nouvelle base est donnée par : Mat_{B'}(f) = P⁻¹ × Mat_B(f) × P.
- La matrice de passage P est toujours inversible, car elle correspond au changement de base entre deux bases de E.
- Le calcul de la matrice de passage et la transformation des matrices d’applications linéaires sont utilisés pour simplifier les calculs, par exemple pour mettre une matrice sous forme diagonale ou triangulaire.
- Le choix judicieux d’une base adaptée peut grandement simplifier la résolution de problèmes liés aux applications linéaires.
Définitions
- Matrice de passage : Soient B = (e₁, ..., eₙ) et B' = (e₁', ..., eₙ') deux bases de E. La matrice de passage de B à B', notée P_{B→B'}, est la matrice dont la j-ème colonne est le vecteur de coordonnées de eⱼ' dans la base B.
- Changement de base : Le changement de base consiste à exprimer les coordonnées des vecteurs ou la matrice d’une application linéaire dans une nouvelle base, à l’aide de la matrice de passage.
Formules
- Mat_{B'}(f) = P⁻¹ × Mat_B(f) × P — Cette formule permet de calculer la matrice d’une application linéaire f dans une nouvelle base B', à partir de sa matrice dans la base B et de la matrice de passage P de B à B'.
- [x]_{B'} = P⁻¹ × [x]_B — Pour un vecteur x, ses coordonnées dans la base B' s’obtiennent en multipliant l’inverse de la matrice de passage par ses coordonnées dans la base B.
Méthode
- Déterminer les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base B' dans l’ancienne base B.
- Former la matrice de passage P en plaçant ces coordonnées en colonnes.
- Calculer l’inverse de la matrice de passage P (P doit être inversible).
- Pour transformer la matrice d’une application linéaire f de la base B à la base B', utiliser la formule Mat_{B'}(f) = P⁻¹ × Mat_B(f) × P.
- Pour transformer les coordonnées d’un vecteur, utiliser la formule [x]_{B'} = P⁻¹ × [x]_B.
Exemple traité
Soit E = ℝ², B = (e₁, e₂) la base canonique avec e₁ = (1,0), e₂ = (0,1), et B' = (e₁', e₂') où e₁' = (1,1), e₂' = (1,−1). Soit f : ℝ² → ℝ² l’application linéaire de matrice dans la base canonique A = [[2, 0], [0, 3]]. Calculer la matrice de passage de B à B', puis la matrice de f dans la base B'.
1. Exprimons e₁' et e₂' dans la base B : e₁' = 1×e₁ + 1×e₂, donc coordonnées (1,1) ; e₂' = 1×e₁ + (−1)×e₂, donc coordonnées (1,−1). 2. La matrice de passage P de B à B' est donc P = [[1,1],[1,−1]]. 3. Calculons l’inverse de P : det(P) = (1)×(−1) − (1)×(1) = −1 − 1 = −2 ; donc P⁻¹ = (1/det) × [[−1,−1],[−1,1]] = (−1/2)×[[−1,−1],[−1,1]] = [[0.5,0.5],[0.5,−0.5]]. 4. Calculons la matrice de f dans la base B' : Mat_{B'}(f) = P⁻¹ × A × P. Calculons A × P : A = [[2,0],[0,3]], donc A × P = [[2,2],[3,−3]]. Puis Mat_{B'}(f) = P⁻¹ × [[2,2],[3,−3]] = [[0.5,0.5],[0.5,−0.5]] × [[2,2],[3,−3]]. Effectuons le calcul : Première ligne : (0.5×2 + 0.5×3) = 1 + 1.5 = 2.5 ; (0.5×2 + 0.5×(−3)) = 1 − 1.5 = −0.5. Deuxième ligne : (0.5×2 + (−0.5)×3) = 1 − 1.5 = −0.5 ; (0.5×2 + (−0.5)×(−3)) = 1 + 1.5 = 2.5. Donc la matrice de f dans la base B' est [[2.5,−0.5],[−0.5,2.5]].
Pièges à éviter
- Confondre la matrice de passage de B à B' avec celle de B' à B : l’ordre des bases est important.
- Oublier d’inverser la matrice de passage lorsqu’on passe des coordonnées dans B à celles dans B'.
- Croire que la matrice d’une application linéaire ne change pas lors d’un changement de base.
- Ne pas vérifier que la matrice de passage est bien inversible (ce qui est toujours le cas entre deux bases, mais il faut le vérifier dans les calculs).
- Utiliser les coordonnées des vecteurs de la mauvaise base lors de la construction de la matrice de passage.
À retenir
- Un espace vectoriel est un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication par un scalaire, satisfaisant huit axiomes fondamentaux.
- Un sous-espace vectoriel est une partie stable par addition et multiplication par un scalaire, contenant le vecteur nul.
- L’intersection de sous-espaces vectoriels est toujours un sous-espace, mais la réunion ne l’est généralement pas.
- Une famille de vecteurs est libre si aucun vecteur ne s’écrit comme combinaison linéaire des autres ; elle est génératrice si ses combinaisons linéaires engendrent tout l’espace.
- Une base est une famille à la fois libre et génératrice ; tout vecteur de l’espace s’écrit de façon unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base.
- Toutes les bases d’un même espace vectoriel ont le même nombre d’éléments, appelé la dimension de l’espace.
- La dimension d’un sous-espace vectoriel est toujours inférieure ou égale à celle de l’espace ambiant.
- Une application linéaire respecte l’addition et la multiplication par un scalaire : f(u + v) = f(u) + f(v) et f(λu) = λf(u).
- Le noyau d’une application linéaire est l’ensemble des vecteurs envoyés sur le vecteur nul ; l’image est l’ensemble des vecteurs atteints par l’application.
- Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit au vecteur nul, et surjective si son image est tout l’espace d’arrivée.
- Le théorème du rang affirme que, pour une application linéaire entre espaces de dimension finie, la dimension de l’espace de départ est la somme des dimensions du noyau et de l’image.
- Le changement de base modifie la matrice associée à une application linéaire, via une matrice de passage, sans changer l’application elle-même.
Quelques flashcards pour vous tester
- Qu'est-ce qu'un espace vectoriel ?
- Un espace vectoriel E sur un corps K est un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication externe, vérifiant huit axiomes fondamentaux.
- Quelles sont les conditions pour qu'une partie soit un sous-espace vectoriel ?
- Une partie F de E est un sous-espace vectoriel si elle contient le vecteur nul, est stable par addition et stable par multiplication par un scalaire.
- Quelle est la différence entre une famille libre et une famille liée ?
- Une famille est libre si la seule combinaison linéaire nulle est celle où tous les scalaires sont nuls, tandis qu'une famille est liée s'il existe une combinaison linéaire non triviale qui donne le vecteur nul.
- Qu'est-ce qu'une famille génératrice ?
- Une famille est génératrice de E si tout vecteur de E peut s’écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de la famille.
- Comment vérifier si une famille de vecteurs est libre ?
- Pour tester la liberté, on écrit l'équation λ₁v₁ + … + λₙvₙ = 0 et on résout le système associé ; si la seule solution est λ₁ = … = λₙ = 0, la famille est libre.
- Qu'est-ce qu'une base d'un espace vectoriel ?
- Une base d'un espace vectoriel E est une famille de vecteurs à la fois libre et génératrice de E.
Trois questions du quiz
Qu'est-ce qu'un espace vectoriel ?
- Un ensemble de nombres réels sans structure particulière.
- Un ensemble de vecteurs uniquement dans un espace tridimensionnel.
- Un ensemble de matrices carrées uniquement.
- Un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication par un scalaire vérifiant huit axiomes fondamentaux.
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Un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication par un scalaire vérifiant huit axiomes fondamentaux. — Un espace vectoriel est défini comme un ensemble muni de deux opérations : l'addition de vecteurs et la multiplication par un scalaire, qui vérifient huit axiomes fondamentaux.
Quelles sont les conditions pour qu'une partie F soit un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E ?
- F doit être non vide et contenir tous les vecteurs de E.
- F doit être une famille de vecteurs linéairement indépendants.
- F contient le vecteur nul, est stable par addition et par multiplication par un scalaire.
- F doit contenir au moins un vecteur non nul et être stable par addition.
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F contient le vecteur nul, est stable par addition et par multiplication par un scalaire. — Pour qu'une partie F soit un sous-espace vectoriel, il suffit de vérifier trois propriétés : F contient le vecteur nul de E, F est stable par addition et F est stable par multiplication par un scalaire.
Qu'est-ce qu'une famille de vecteurs libre ?
- Une famille qui engendre tout l'espace vectoriel.
- Une famille où la seule combinaison linéaire nulle est celle où tous les scalaires sont nuls.
- Une famille qui contient le vecteur nul.
- Une famille où tous les vecteurs sont colinéaires.
Voir la réponse
Une famille où la seule combinaison linéaire nulle est celle où tous les scalaires sont nuls. — Une famille de vecteurs est dite libre si la seule combinaison linéaire qui donne le vecteur nul est celle où tous les scalaires sont nuls.